3° PARADOSSO

 

Per illustrare la questione, Galileo ricorre all'aritmetica e precisamente alla serie dei numeri naturali ed alla serie dei loro quadrati:

 

 

 

 

 

 

 

 

Entrambe le serie contengono infiniti numeri.
Nella serie dei numeri naturali, solo alcuni sono dei quadrati perfetti, quindi, prosegue Salviati

"se dirò che i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò una proposizione verissima".

 

 

D'altra parte, interrogatosi su quanti siano i numeri quadrati, Galileo afferma che sono tanti quante sono le loro radici e ogni radice ha un suo quadrato, ogni quadrato non può avere più di una radice e ogni radice ha un solo quadrato. Galileo riesce a mettere in "corrispondenza biunivoca" l' insieme dei naturali (radici) con l'insieme dei loro quadrati.

 

 

            1   4   9   16    25   36   49   64   81    100 ...

 

 

 

 

 

 

 

I quadrati nella serie numerica diventano sempre più radi. La distanza tra il quadrato e il successivo va aumentando ogni volta di due unità e si ha quindi una rarefazione di quadrati sempre maggiore. Essi si ottengono, infatti, ciascuno dal precedente aggiungendo i successivi numeri dispari :

 

 

 

 

 

 

Galileo ricorda questa legge di formazione dei quadrati nella seconda giornata del Dialogo Sopra i due Massimi Sistemi, lì dove accenna alle leggi sulla caduta dei gravi.

Salviati conclude :

"Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti quadrati, infinite le loro radici, nè la moltitudine de' quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, nè questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di eguale e minore non aver luogo ne gl'infiniti, ma solo nelle quantità terminate".


 

 

 

Si è stabilito il parallelismo tra il paradosso aritmetico dei numeri quadrati e quello
geometrico dei punti contenuti in linee di diversa lunghezza.

 

 

 

 

 

Bisognerà attendere la fine dell'Ottocento perchè il concetto di corrispondenza biunivoca , qui intravisto da Galileo, venga posto da Georg Cantor alla base della moderna teoria dei    

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