Analizziamo i passi fondamentali che, secondo Galileo, portano ad introdurre una nuova grandezza; in una situazione generale, date due grandezze A e B si incomincia dalla constatazione che:

1° PASSO

Nella stessa situazione (cioè a parità di "tutto il resto") la grandezza  A è proporzionale alla grandezza B:
 
nell'esempio 1: in uno stesso moto uniforme, gli spazi sono proporzionali ai tempi;
nell'esempio 2: per corpi omogenei, il peso è proporzionale ai volumi..

 

2° PASSO

Occorre individuare una nuova grandezza C che denoti situazioni diverse; diremo allora a parità di C, A è proporzionale a B.
 
nell'esempio 1:

a parità di velocità, gli spazi sono proporzionali ai tempi;
nell'esempio 2:

a parità di densità, i pesi sono proporzionali ai volumi.


Si può notare come la scelta della grandezza C non sia sempre obbligata: lo è nel primo esempio; nel secondo, invece, mentre Galileo sceglie come C la densità (o il peso specifico), altri (es: Marino Ghedaldi) preferiscono la perdita di peso in acqua.

Se si usa la teoria delle proporzioni la scelta di C richiede una certa oculatezza.

 

3° PASSO

Si tiene fissa la grandezza B e si osserva cosa avviene: a parità di B, A è proporzionale a C.
 
nell'esempio 1:

a parità del tempo, gli spazi sono proporzionali alle velocità;
nell'esempio 2:

a parità di volume, i pesi sono proporzionali alle densità.

 

4° PASSO

 Si giunge alla proporzione composta tra le B e le C

Invece di una definizione si ha una serie di passaggi che comporta una scelta opportuna di quale grandezza sia quella giusta.

La teoria delle proporzioni, l’unico strumento che consente di legare la matematica alla scienza della natura, porta con sé molte difficoltà, derivanti dal fatto che si possono confrontare solo grandezze omogenee.

Le cose cambiano quando Galileo, dopo aver considerato il moto uniforme, si addentra nella discussione sul moto accelerato ed in particolare sulla caduta dei gravi, uno studio da cui deriverà uno dei suoi massimi risultati.

Accanto alle difficoltà che accompagnano la teoria delle proporzioni, merita di essere evidenziata anche un’importante implicazione: il fisico sceglie una o un’altra teoria matematica in relazione alla loro aderenza alla realtà da studiare; la teoria delle proporzioni non è dunque senza conseguenze sulla descrizione del mondo e sulla stessa immagine che lo scienziato si forma dei concetti di cui si serve:

 

 

 

alla molteplicità dei corpi reali che si muovono, che pesano, che si equilibrano, il fisico matematico sostituisce un universo cristallino di figure, grandezze, moti invariabili, nel quale l’infinita varietà delle cose viene sostituita dal gioco sistematico di relazioni semplici.

Le relazioni possibili tra i corpi naturali sono quindi quelle che la teoria prevede tra le grandezze astratte, ed è su queste che le nostre immagini della natura dovranno essere modellate, con tutte le possibili distorsioni che ne conseguono.

Se la fisica viene in un certo senso cristallizzata dalla struttura matematica soggiacente, e diventa così un "modello" della teoria matematica di cui si serve, essa però non resta inerte, in special modo quando le semplificazioni introdotte impediscono una comprensione adeguata dei fenomeni in esame.