Di tutti gli elementi di Euclide,

LA TEORIA DELLE PROPORZIONI

è l’unica parte che permette di quantificare oggetti che non sono necessariamente geometrici; se è vero che Euclide la utilizza facendo proporzioni tra segmenti, tra triangoli e così via, è anche vero che di rapporto e di proporzione si può parlare in relazione ai pesi, agli spazi, alle velocità, alle densità...

Galileo estrasse dagli Elementi la teoria delle proporzioni per farvi il cardine ed il linguaggio della nuova scienza.

 

 

Per Galileo la semplicità della teoria delle proporzioni era

 

non solo una

semplicità logica

del geometra che vuole dimostrare teoremi complessi a partire da assiomi chiari ed evidenti,

 

ma soprattutto una

semplicità filosofica

di chi ritiene esservi piena
corrispondenza tra struttura dell’universo e codice matematico.

 

Per Galileo la semplicità delle leggi fisiche può emergere solo dall’immediata evidenza dei concetti matematici che soggiacciono alla loro formulazione.

Qual è l’enunciato tipico di tale teoria?

AD UNA CERTA GRANDEZZA È PROPORZIONALE
UN’ALTRA GRANDEZZA

  ESEMPI

tipo di proporzionalità

formula

1

Teorema :

Se un corpo mobile di moto uniforme percorre due spazi con la stessa velocità, i tempi di percorrenza stanno tra loro come gli spazi percorsi.

 

 

 diretta

 

v = cost

t1/ t2 =    s1/s2

2

Teorema:

Due corpi dello stesso genere hanno in gravità la stessa proporzione che in grandezza, cioè hanno i pesi proporzionali ai volumi.

 

 

 diretta



p1 /p2=V1/ V2

3

Teorema :

I tempi di mobili (in moto uniforme), che percorrono lo stesso spazio a velocità diverse, sono inversamente proporzionali alle velocità.

 

 

 inversa

 

s = cost

t1 /t2= v2/ v1

4

 

Euclide, Elementi,(Prop.XII,2):

I cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri.

 

diretta

  

A1/A2= d21 /d22

 

Queste relazioni sono quelle che riescono ad essere tradotte nella teoria delle proporzioni. Quando si esce da queste relazioni, le cose si complicano; come si può operare con la teoria delle proporzioni?
Useremo la proprietà composta:

 

ESEMPIO

tipo di proporzionalità

formula

6

Teorema :

Se due mobili viaggiano di moto uniforme, con velocità diverse, il rapporto tra gli spazi percorsi in tempi diversi si compone del rapporto dei tempi e di quello delle velocità

 

 diretta

     

Per esprimere quest’ultimo esempio, noi oggi useremmo s = v . t    e lo possiamo fare perché , una volta fissate le unità di misura, lo spazio, la velocità ed il tempo sono dei numeri e quindi si possono moltiplicare tra loro.

Per Galileo e per i matematici del suo tempo, questo non si poteva fare perché non esistevano sufficienti numeri per tenere conto di tutti i rapporti ( I numeri reali sono stati introdotti in modo rigoroso nel 1872 da Dedekind).

 

Si doveva introdurre l’idea del rapporto come qualche cosa che trascende anche il numero.

La teoria delle proporzioni comprende, però, una serie di difficoltà logiche e matematiche        

 bilancetta